ECOCARDIOGRAFIA
Guía de Imágenes e Interpretación
Ecografia 3D y 4D

Interpolación Espacial Basada en Movimiento

Resumen
En este trabajo se presenta un método para la interpolación espacial de imágenes médicas 3D, basada en movimiento. El método desarrollado utiliza la técnica del flujo óptico para determinar el desplazamiento de las estructuras entre dos cortes consecutivos de un volumen 3D para posteriormente generar nuevos cortes mediante el promedio ponderado de los vóxeles de las imágenes originales, desplazados espacialmente con la información de movimiento previamente calculada. Esta técnica aumenta la resolución de las imágenes 3D en estudio permitiendo una mayor exactitud y mejoras en la visualización de las mismas. Son presentadas comparaciones cualitativas y cuantitativas con diferentes métodos de interpolación espacial, utilizando diferentes tipos de imágenes médicas 2D y 3D donde se demuestra la generalidad y superioridad del método desarrollado.

Introducción
En imagenología médica 3D, los objetivos principales son: visualización, manipulación y análisis de órganos y estructuras internas del cuerpo humano, a partir de imágenes multidimensionales, con el propósito de realizar diagnostico y terapia. En visualización, se trata de crear una exacta representación de las estructuras analizadas, en el monitor del computador. Los métodos reportados en la literatura para la visualización 3D de objetos y estructuras (obtención directa de volumen y obtención directa de superficie), operan bajo la asunción que la data está uniformemente muestreada en el espacio 3D, es decir, que es necesario disponer de un arreglo de vóxeles cúbicos para la visualización exacta de las estructuras dentro de la imagen (el vóxel es la extensión 3D de un pixel y representa el volumen elemental de la imagen 3D). En el caso de análisis de órganos y estructuras internas del cuerpo mediante diferentes cortes sobre un volumen de datos, es necesario igualmente, disponer de un arreglo de vóxeles cúbicos para la exacta interpretación de las imágenes resultados.

La mayoría de las técnicas de adquisición de imágenes médicas existentes, proveen datos 3D a partir de la acumulación de cortes de imágenes 2D. Los diferentes cortes 2D son obtenidos por medio del desplazamiento del paciente con respecto al equipo de adquisición o viceversa, lo cual origina que la resolución en el eje Z, -eje perpendicular al plano de adquisición (plano XY)- sea generalmente diferente a la resolución en las direcciones X e Y. 

La resolución en el eje Z esta limitada por las características físicas del equipo de adquisición y por el tipo de examen que se esté realizando (rayos X, tomografía axial, ecocardiografía bidimensional y resonancia magnética), esto trae como consecuencia que la separación espacial entre sucesivos cortes en una imagen 3D es mayor (2 a 15 veces) que la dimensión de los vóxeles en las direcciones X o Y [Udupa 1991], por lo tanto, los vóxeles que forman estas imágenes son en general cuboides y no cúbicos, inclusive algunas veces la separación misma no es uniforme entre cortes sucesivos del volumen.

Por razones de exactitud y mejoras en la visualización, es necesario crear una escena uniformemente muestreada a partir de una generada mediante un muestreo anisotrópico. Los datos de volumen se dicen que son isotrópicos si el vóxel es un cubo y anisotrópico cuando el vóxel tiene forma de paralepípedo. Nuestro objetivo es crear una imagen de salida de vóxeles cúbicos. En nuestro caso la interpolación espacial se puede definir como una operación que convierte una escena de entrada A en una escena de salida B, en la cual la dimensión en el eje Z de los vóxeles de la escena B es diferente (generalmente menor) a la dimensión en eje Z de los vóxeles de la escena A. 

En este trabajo se presenta un método para la interpolación espacial de imágenes médicas 3D, basada en movimiento. El método desarrollado utiliza la técnica del flujo óptico para determinar el desplazamiento aparente de las estructuras entre dos cortes consecutivos (generalmente anisotrópicos) de un volumen 3D para posteriormente generar cortes isotrópicos mediante el promedio ponderado de los vóxeles de las imágenes originales desplazados espacialmente con la información de movimiento previamente calculada. Se analizará únicamente la aplicación de las técnicas de interpolación a los vóxeles en el eje Z, se asumirá que las dimensiones X e Y de los vóxeles de las imágenes de entrada y los de las imágenes de salida son idénticas. 

Interpolación basada en Movimiento 
El desplazamiento aparente de las estructuras dentro de la imagen 3D se puede calcular utilizando diferentes métodos de detección de movimiento. Estos métodos se pueden agrupar en dos clases: los métodos de puesta en correspondencia y los métodos diferenciales [Torrealba 1994].

Dentro de los métodos diferenciales para el calculo del movimiento se encuentra el método del flujo óptico [Horn 1980]. Este método posee varias características resaltantes: puede ser utilizado en imágenes de pobre calidad técnica y con mucho ruido, característica propia de la mayoría de las imágenes médicas; no se necesita agregar conocimiento a la imagen y requiere menos tiempo de cálculo que los métodos de puesta en correspondencia. Es por estas razones, que el flujo óptico es la técnica más utilizada para el análisis de movimiento en secuencias de imágenes 2D y 3D, en ecocardiografía bidimensional, en angiografía, resonancia magnética y tomografía computarizada [Torrealba 1994]. El método de flujo óptico, es el utilizado en el calculo del desplazamiento de las estructuras dentro de las imágenes en el presente trabajo.

Flujo Óptico. Definición
El flujo óptico, vector desplazamiento o vector velocidad, es un campo vectorial, que asigna a cada pixel de una imagen las dos componentes de desplazamiento, utilizando la información de intensidad de una secuencia de imágenes. Este campo vectorial no corresponde al desplazamiento real tridimensional, sino al movimiento aparente en el plano de la imagen [Schalkoff 1989]. 

La figura 1 muestra el movimiento en el espacio 3D de dos objetos, el primero desde la posición xo hasta xó y el segundo desde la posición (xo) hasta (xó) ambos movimientos son observados en el plano de la imagen como un único desplazamiento desde la posición (xi) hasta (xí). Si el movimiento del objeto es desde la posición xo hasta (xo) sobre el plano de la imagen no se detectara ningún desplazamiento.

En el caso de las imágenes médicas donde la imagen no es una proyección sino un corte sobre un plano fijo; el flujo óptico representa cuantitativamente el desplazamiento visto por un observador ubicado perpendicular al plano de adquisición de la imagen (figura 2) 

Resultados experimentales 
El método desarrollado de interpolación por movimiento fue probado con imágenes de Ecocardiografía Bidimensional, Resonancia Magnética (MRI) y Tomografía Computarizada. Se realizaron diferentes experimentos para evaluar su funcionamiento, una descripción de los mismos se muestra a continuación: 

Experimento número 1 
A partir de una imágenes de ecocardiografía bidimensional (img0) de dimensiones 256x194 pixeles y 256 niveles de gris (figura 7), se generaron cuatro imágenes con desplazamiento conocido, según el siguiente esquema: 
img1 = img0 desplazada 1 pixel hacia la derecha y 1 pixel hacia abajo. 
img2 = img0 desplazada 2 pixeles hacia la derecha y 2 pixeles hacia abajo. 
img3 = img0 desplazada 3 pixeles hacia la derecha y 3 pixeles hacia abajo. 
img4 = img0 desplazada 4 pixeles hacia la derecha y 4 pixeles hacia abajo. 

Con las imágenes img0 e img4 se generó un volumen anisotrópico con dimensiones de los voxeles de 1x1x4. Mediante los métodos de interpolación de orden cero [Sonka 1993], lineal [Sonka 1993], cubica [Sonka 1993] e interpolación por movimiento, se generaron voxeles cúbicos creando 3 imágenes intermedias a una distancia de 1, 2 y 3 píxeles de img0. La figura 7 muestra la región de interés de las imágenes generadas a una distancia de 2 píxeles de img0. La imagen 8-a corresponde a la región de interés de la figura img2, la figura 8-b corresponde a la interpolación lineal , la figura 8-c corresponde a la interpolación cubica y la figura 8-d corresponde a la interpolación por movimiento. En la figura 8 se puede observar que la imagen resultante por el método de interpolación por movimiento es la que presenta mejor definición de las partes de la imagen y subjetivamente se puede afirmar que es la que presenta mayor semejanza con la imagen verdadera (img2). 

Figura 7. Eco 2D, vista parasternal eje corto a nivel de la válvula mitral. Se muestra una región de interés encerrada por una ventada de 64*58 pixeles.

Figura 8. Región de interés de las imágenes generadas: (a) imagen verdadera, (b) interpolación lineal, (c) interpolación cubica, (d) interpolación por movimiento.

Experimento número 2 
Se realizo la diferencia entre la imagen verdadera img2, con las imágenes intermedias generadas a una distancia de 2 píxeles de img0 con los métodos de interpolación de orden cero (figura 9-a), lineal (figura 9-b), cubica (figura 9-c) e interpolación por movimiento (figura 9-d), para mejorar la visualización se les añadió un nivel de gris de 128 a las imágenes resultados. En la figura 9 se puede observar que la imagen resultante por el método de interpolación por movimiento es la que presenta una menor variación con respecto a la imagen verdadera. Esta prueba nos suministra otra medida subjetiva de semejanza. 

Diferencia entre la imagen verdadera img2, con las imágenes intermedias generadas a una distancia de 2 píxeles de img0 con los métodos de interpolación de: (a) orden cero, (b) lineal, (c) cubica, (d) interpolación por movimiento. 

Experimento número 3 
Con la finalidad de tener una medida cuantitativa de similitud entre las imágenes generadas y las imágenes reales, se calculó el Error y la Varianza definidos como: 

 

donde P representa el plano de la imagen, W y H corresponden respectivamente al ancho y largo de la imagen, ImgR es imagen real e ImgZ la imagen generada por medio de los métodos de interpolación espacial. 

Con las imágenes img1, img2 e img3 y las imágenes intermedias generadas a una distancia de 1, 2 y 3 píxeles de img0, se calculo el Error y la Varianza obteniendo los resultados mostrados en la figura 10. Las columnas Desp(1,1), Desp(2,2) y Desp(3,3) corresponden al calculo del Error y la Varianza entre las imágenes verdaderas (img1, img2 e img3) y las imágenes generadas a una distancia de 1, 2 y 3 píxeles de img0. 

Podemos observar que el método de interpolación por movimiento es el que proporciona el menor Error y la menor Varianza entre los métodos de interpolación analizados. 

Figura 10. Error y Varianza de las imágenes obtenidas por los métodos de interpolación de movimiento, cúbica, lineal y de orden cero. 

Experimento número 4 
Con las dos imágenes img0 e img4 se generó un volumen anisotrópico con dimensiones de los voxeles de 1x1x80. Posteriormente se interpoló dicho volumen para obtener voxeles de dimensiones 1x1x1 con los métodos de interpolación de orden cero, interpolación lineal e interpolación por movimiento. Se realizaron cortes perpendiculares a los volúmenes generados como se muestra en la figura 11. Las imágenes obtenidas sobre el plano de corte se presentan la figura 12. La figura 12-a muestra el corte sobre el volumen generado por medio de interpolación de orden cero, la figura 12-b muestra el corte sobre el volumen generado por medio de interpolación lineal y finalmente la figura 12-c muestra el corte sobre el volumen generado por medio de interpolación por movimiento. 

El experimento desarrollado representa el corte de una estructura u órgano del cuerpo humano. Al analizar los resultados podemos observar que el método de interpolación por movimiento proporciona la información visual más lógica que la suministrada por los otros métodos analizados. 

Figura 11.- Volumen generado a partir de las imágenes img0 e img4. Se muestra el plano de corte aplicado al nuevo volumen. 

Figura 12.- Imágenes obtenidas sobre el plano de corte de la figura 11. a) sobre el volumen generado por medio de interpolación de orden cero. b) sobre el volumen generado por medio de interpolación lineal. c) sobre el volumen generado por medio de interpolación por movimiento. 

Experimento número 5 
A partir de dos imágenes de resonancia magnética (P y U figura 13) se generó una secuencia de ocho cortes adicionales igualmente espaciados, mediante el método de interpolación por movimiento. 

Puede notarse que los nuevos cortes generados presentan una secuencia lógica entre la imagen P y la imagen U y una buena definición de las estructuras internas en cada imagen. 


Experimento número 6 
Se utilizo una imagen 3D de tomografía computarizada (CT) del cráneo humano con dimensiones de sus voxeles de 1x1x3 y se interpolo para obtener cortes con voxeles isotrópicos, con los métodos de interpolación lineal e interpolación por movimiento, obteniendo una imagen de dimensiones 256x256x256 voxeles. Se utilizó la técnica de rendering de volumen para visualizar los volúmenes obtenidos.

Conclusiones 
Se ha presentado un método para la interpolación espacial de imágenes médicas multidimencionales, basado en movimiento. En ese trabajo se utilizó el método de flujo óptico para determinar el desplazamiento de las estructuras dentro del as imágenes. Del análisis de los experimentos realizados podemos concluir: 

1.- El método desarrollado aumenta la resolución de las imágenes en estudio, permitiendo una mayor exactitud y mejoras en la visualización de las mismas. 

2.- El método demostró que presenta ventajas sobre otros métodos convencionales de interpolación al generar en todos los casos, imágenes resultados mas aceptables cualitativamente ya que generó imágenes con: 
a- mayor semejanza con las imágenes verdaderas 
b- información visual más lógica, 
c- mayor definición de las estructuras internas. 

3.- Cuantitativamente método demostró su superioridad ya que proporcionó el menor Error y la menor Varianza entre los métodos de interpolación analizados. 

4.- El método demostró su generalidad ya que fue probado con diferentes tipos de imágenes medicas: 
a.- Tomografía Computarizada (CT) , 
b.- Ecocardiografía Bidimensional y 
c.- Resonancia Magnética (MRI), 
tanto en 2 dimensiones, como en 3 dimensiones. 


Bibliografía
[Burder 1990] Burder, R. I., Faires, J.D., "Análisis Numérico", Ed. Grupo Editorial Iberoamérica, 1era edición en español, cap 8, pp 445-512, 1990.

[Burington 1939] Burington, S. R., Torrance, C.C., "Higher Mathematics", Ed. Mc Graw Hill, First Edition, Chapter 8, pp 784-795, 1939.

[Horn 1981] Horn, B. P., Scchunk B., "Determining optical flow". Artificial Inteligence, vol. 17, pp 185-204, 1981.

[Raya 1990] Raya S. P., Udupa J. K., "Shaped-Based Interpolation of Multidimensional Objects", IEEE Transsactions on Medical Imaging, vol. 9, No 4, pp 32-42, 1990.

[Schalkoff 1989] Schalkoff Rober "Digital Image Procesing and Computer Vision" Ed. Jhon Wiley & Sons, INC. New York. 1989.

[Sonka 1993] Sonka Milan, Hlavac Vclav, Boyle Roger "Image Processing, Analysis and Machine Vision", Ed. Chapman & Hall Computing. London. 1993.

[Torrealba 1994] Torrealba Melet, Víctor., "Detección y Cuantificación Automática del Movimiento Miocárdico en Ecocardiografía Bidimensional", Tesis de Maestría, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela, 1994.

[Udupa 1991] Udupa J. K., Herman G. T., "3D Imaging in Medicine", Boston: CRC Press, 1991. 

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